🧮 矩阵条件数 · 良态 vs 病态
固定解
x₀ = [0.5, 0]
，扰动
b
观察
x
的变化
✅ 良态矩阵
条件数小
A = [[2, 1], [1, 2]]
条件数 κ =
3.00
扰动大小 ε
0.15
扰动角度 θ
45°
b (原始)
b' = b + δb
x = A⁻¹b
x' = A⁻¹b'
δx = x' - x
||δx|| / ||δb|| =
—
(理论 κ ≈
3.00
)
⚠️ 病态矩阵
条件数巨大
A = [[1, 1], [1, 1.0001]]
条件数 κ =
40000
扰动大小 ε
0.15
扰动角度 θ
45°
b (原始)
b' = b + δb
x = A⁻¹b
x' = A⁻¹b'
δx = x' - x
||δx|| / ||δb|| =
—
(理论 κ ≈
40000
)
💡 解读：
固定解
x₀ = [0.5, 0]
，计算
b = A · x₀
。然后对
b
施加一个微小扰动
δb
（大小 ε，方向 θ），解变为
x' = A⁻¹(b + δb)
。 病态矩阵（条件数大）会将微小的输入扰动放大为巨大的输出误差，而良态矩阵则保持稳定。拖动滑块观察 δx 的变化，其放大倍数近似等于条件数 κ。