宾汉数(Bingham Number,简称 Bn)描述**宾汉塑性流体(Bingham Plastic Fluid)**的流动特性,反映流体中屈服应力与粘性力的比值。牙膏、钻井泥浆、新拌混凝土都属此类:受到的剪切应力不够就纹丝不动,过了阈值又像普通流体一样流动。判断这类”不推不动”的流体在具体工况下会不会流动、怎么流动,Bn 是第一判据。

定义与表达式

$$
Bn = \frac{\tau_y \cdot L}{\mu_p \cdot V}
$$

其中:

  • $\tau_y$:屈服应力(Pa),流体开始流动所需的最小剪切应力;
  • $L$:特征长度,如管道直径、流动区域尺度(m);
  • $\mu_p$:塑性粘度(Pa·s),流体流动后的表观粘度;
  • $V$:特征流速(m/s)。

物理意义

宾汉数量化了流体中屈服应力效应与粘性流动阻力的相对重要性:

  • Bn ≫ 1:屈服应力主导,流体流动前需克服显著的”启动阻力”,如牙膏挤出、泥浆停滞;
  • Bn ≪ 1:粘性力主导,流体行为接近牛顿流体,如低浓度悬浮液;
  • Bn ≈ 1:屈服应力与粘性力作用相当,需同时考虑两者影响。

核心应用领域

  1. 石油工程(钻井液)
    宾汉塑性流体广泛用作钻井液,通过调节 Bn 控制井筒内岩屑携带能力与静置稳定性。高 Bn 钻井液可防止停泵时岩屑沉降,但需更高泵压启动流动。

  2. 化工与食品加工
    膏状物料(如牙膏、巧克力浆)的管道输送中,Bn 决定管路设计参数,如最小启动压力。牙膏的 $\tau_y \approx 200 , \text{Pa}$,需通过挤压克服屈服应力才能流动。

  3. 混凝土泵送
    新拌混凝土属于宾汉流体,Bn 影响泵送阻力与浇筑均匀性。添加减水剂可降低 $\tau_y$ 和 $\mu_p$,从而减小 Bn、提高流动性。

  4. 泥石流与地质灾害预测
    泥石流的 Bn 决定其流动停止阈值,用于评估堆积范围与灾害风险。

典型应用场景

管道流动压降计算

宾汉流体在圆管中流动时,临界压力梯度与 Bn 直接相关:

$$
\Delta P = \frac{4 \tau_y L}{D} + \frac{8 \mu_p L V}{D^2}
$$

  • 高 Bn:首项(屈服应力项)主导,需显著提高泵压启动流动;
  • 低 Bn:次项(粘性项)主导,流动特性类似牛顿流体。

3D 打印浆料挤出

在陶瓷或生物墨水打印中,浆料的 Bn 需要平衡:

  • Bn 过高:挤出困难,易堵塞喷嘴;
  • Bn 过低:挤出后结构坍塌,无法保持形状。

油藏驱替效率优化

在石油开采的聚合物驱中,注入流体的 Bn 影响驱替前缘稳定性:适度提高 Bn 可减少指进现象,提升原油采收率。

宾汉数与雷诺数的对比

  • 宾汉数(Bn):表征流体的静态屈服特性,适用于非牛顿流体,如泥浆、凝胶;
  • 雷诺数($Re$):表征惯性力与粘性力的比值,适用于牛顿流体,如水、空气。

实际分析中两者常组合使用,构成宾汉雷诺数框架:

$$
Re_{B} = \frac{\rho V L}{\mu_p} \quad \text{与} \quad Bn = \frac{\tau_y L}{\mu_p V}
$$

两者共同决定流动状态(层流/湍流)与能量耗散机制。工程上还需注意:屈服应力 $\tau_y$ 需通过流变仪测定(如稳态剪切实验),不能靠经验估取。

扩展:赫歇尔-巴尔克莱模型

更广义的宾汉流体是赫歇尔-巴尔克莱模型(Herschel-Bulkley Model),引入流变指数 $n$ 描述剪切稀化/增稠特性:

$$
\tau = \tau_y + K \dot{\gamma}^n
$$

其中 $K$ 为稠度系数,$\dot{\gamma}$ 为剪切速率。$n = 1$ 时退化为标准宾汉模型。

小结

宾汉数是宾汉塑性流体流动分析的核心参数,通过量化屈服应力与粘性力的竞争关系,指导工业输送、材料加工及地质灾害防治等领域的设计与优化。

本文整理自个人 CFD 学习笔记系列